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 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d93bfff6-381f-4d9d-8035-9bd1d47befe5",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# softmax回归\n",
    "`sec_softmax`\n",
    "\n",
    "在 `sec_linear_regression`中我们介绍了线性回归。  \n",
    "随后，在 `sec_linear_scratch`中我们从头实现线性回归。  \n",
    "然后，在 `sec_linear_concise`中我们使用深度学习框架的高级API简洁实现线性回归。  \n",
    "\n",
    "回归可以用于预测*多少*的问题。  \n",
    "比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。    \n",
    "\n",
    "事实上，我们也对*分类*问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：  \n",
    "\n",
    "* 某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？\n",
    "* 某个用户可能*注册*或*不注册*订阅服务？\n",
    "* 某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？\n",
    "* 某人接下来最有可能看哪部电影？\n",
    "\n",
    "通常，机器学习实践者用*分类*这个词来描述两个有微妙差别的问题：\n",
    "1. 我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；\n",
    "2. 我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。\n",
    "这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。"
   ]
  },
  {
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   "id": "458c3031-e05d-496e-a4d2-e7a99f0669bb",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 分类问题\n",
    "`subsec_classification-problem`\n",
    "\n",
    "我们从一个图像分类问题开始。  \n",
    "假设每次输入是一个$2\\times2$的灰度图像。   \n",
    "我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征$x_1, x_2, x_3, x_4$。  \n",
    "此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。  \n",
    "\n",
    "接下来，我们要选择如何表示标签。  \n",
    "我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择$y \\in \\{1, 2, 3\\}$，  \n",
    "其中整数分别代表$\\{\\text{狗}, \\text{猫}, \\text{鸡}\\}$。  \n",
    "这是在计算机上存储此类信息的有效方法。  \n",
    "如果类别间有一些自然顺序，  \n",
    "比如说我们试图预测$\\{\\text{婴儿}, \\text{儿童}, \\text{青少年}, \\text{青年人}, \\text{中年人}, \\text{老年人}\\}$，  \n",
    "那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。  \n",
    "\n",
    "但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。  \n",
    "幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：*独热编码*（one-hot encoding）。  \n",
    "独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。  \n",
    "类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。  \n",
    "在我们的例子中，标签$y$将是一个三维向量，  \n",
    "其中$(1, 0, 0)$对应于“猫”、$(0, 1, 0)$对应于“鸡”、$(0, 0, 1)$对应于“狗”：  \n",
    "\n",
    "$$y \\in \\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\\}.$$  "
   ]
  },
  {
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   "id": "8e77c3a1-ab02-4b9a-9c80-623c65e254c6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 网络架构\n",
    "\n",
    "为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。  \n",
    "为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的*仿射函数*（affine function）。  \n",
    "每个输出对应于它自己的仿射函数。  \n",
    "在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，  \n",
    "我们将需要12个标量来表示权重（带下标的$w$），  \n",
    "3个标量来表示偏置（带下标的$b$）。  \n",
    "下面我们为每个输入计算三个*未规范化的预测*（logit）：$o_1$、$o_2$和$o_3$。 \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\\\\n",
    "o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\\\\n",
    "o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3.\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "我们可以用神经网络图 `fig_softmaxreg`来描述这个计算过程。  \n",
    "与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。  \n",
    "由于计算每个输出$o_1$、$o_2$和$o_3$取决于  \n",
    "所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$和$x_4$，  \n",
    "所以softmax回归的输出层也是全连接层。  \n",
    "\n",
    "![softmax回归是一种单层神经网络](../img/softmaxreg.svg)  \n",
    "`fig_softmaxreg`\n",
    "\n",
    "为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。  \n",
    "通过向量形式表达为$\\mathbf{o} = \\mathbf{W} \\mathbf{x} + \\mathbf{b}$，  \n",
    "这是一种更适合数学和编写代码的形式。  \n",
    "由此，我们已经将所有权重放到一个$3 \\times 4$矩阵中。  \n",
    "对于给定数据样本的特征$\\mathbf{x}$，  \n",
    "我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置$\\mathbf{b}$得到的。  "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "87ab7e67-4c10-4859-87f8-f6361604e92e",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 全连接层的参数开销\n",
    "`subsec_parameterization-cost-fc-layers`\n",
    "\n",
    "正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。  \n",
    "然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。  \n",
    "具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，  \n",
    "参数开销为$\\mathcal{O}(dq)$，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。  \n",
    "幸运的是，将$d$个输入转换为$q$个输出的成本可以减少到$\\mathcal{O}(\\frac{dq}{n})$，  \n",
    "其中超参数$n$可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性  \n",
    "`Zhang.Tay.Zhang.ea.2021`。  "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "50efd4dd-4d38-461b-9b52-c59756dae0f6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "\n",
    "## softmax运算\n",
    "`subsec_softmax_operation`\n",
    "\n",
    "现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。  \n",
    "为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。  \n",
    " \n",
    "我们希望模型的输出$\\hat{y}_j$可以视为属于类$j$的概率，    \n",
    "然后选择具有最大输出值的类别$\\operatorname*{argmax}_j y_j$作为我们的预测。   \n",
    "例如，如果$\\hat{y}_1$、$\\hat{y}_2$和$\\hat{y}_3$分别为0.1、0.8和0.1，   \n",
    "那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。  \n",
    "\n",
    "然而我们能否将未规范化的预测$o$直接视作我们感兴趣的输出呢？  \n",
    "答案是否定的。  \n",
    "因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：  \n",
    "一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。  \n",
    "另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。  \n",
    "这些违反了 `sec_prob`中所说的概率基本公理。  \n",
    "\n",
    "要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。  \n",
    "此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。  \n",
    "例如，  \n",
    "在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。  \n",
    "这个属性叫做*校准*（calibration）。  \n",
    "\n",
    "社会科学家邓肯·卢斯于1959年在*选择模型*（choice model）的理论基础上  \n",
    "发明的*softmax函数*正是这样做的：  \n",
    "softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。  \n",
    "为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。    \n",
    "为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：    \n",
    "\n",
    "$$\\hat{\\mathbf{y}} = \\mathrm{softmax}(\\mathbf{o})\\quad \\text{其中}\\quad \\hat{y}_j = \\frac{\\exp(o_j)}{\\sum_k \\exp(o_k)}$$  \n",
    "`eq_softmax_y_and_o`  \n",
    "\n",
    "这里，对于所有的$j$总有$0 \\leq \\hat{y}_j \\leq 1$。  \n",
    "因此，$\\hat{\\mathbf{y}}$可以视为一个正确的概率分布。  \n",
    "softmax运算不会改变未规范化的预测$\\mathbf{o}$之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。  \n",
    "因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。  \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\operatorname*{argmax}_j \\hat y_j = \\operatorname*{argmax}_j o_j.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。  \n",
    "因此，softmax回归是一个*线性模型*（linear model）。  "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "4147934a-e4e4-4081-980a-cddc4aa9c3e6",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 小批量样本的矢量化\n",
    "`subsec_softmax_vectorization`\n",
    "\n",
    "为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。\n",
    "假设我们读取了一个批量的样本$\\mathbf{X}$，\n",
    "其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。\n",
    "此外，假设我们在输出中有$q$个类别。\n",
    "那么小批量样本的特征为$\\mathbf{X} \\in \\mathbb{R}^{n \\times d}$，  \n",
    "权重为$\\mathbf{W} \\in \\mathbb{R}^{d \\times q}$，  \n",
    "偏置为$\\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}^{1\\times q}$。  \n",
    "softmax回归的矢量计算表达式为：  \n",
    "\n",
    "$$ \\begin{aligned} \\mathbf{O} &= \\mathbf{X} \\mathbf{W} + \\mathbf{b}, \\\\ \\hat{\\mathbf{Y}} & = \\mathrm{softmax}(\\mathbf{O}). \\end{aligned} $$  \n",
    "`eq_minibatch_softmax_reg`  \n",
    "\n",
    "相对于一次处理一个样本，  \n",
    "小批量样本的矢量化加快了$\\mathbf{X}和\\mathbf{W}$的矩阵-向量乘法。  \n",
    "由于$\\mathbf{X}$中的每一行代表一个数据样本，  \n",
    "那么softmax运算可以*按行*（rowwise）执行：  \n",
    "对于$\\mathbf{O}$的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。  \n",
    "在 `eq_minibatch_softmax_reg`中，    \n",
    "$\\mathbf{X} \\mathbf{W} + \\mathbf{b}$的求和会使用广播机制，  \n",
    "小批量的未规范化预测$\\mathbf{O}$和输出概率$\\hat{\\mathbf{Y}}$  \n",
    "都是形状为$n \\times q$的矩阵。  "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "d794c62a",
   "metadata": {
    "origin_pos": 0
   },
   "source": [
    "## 损失函数\n",
    "\n",
    "接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。  \n",
    "我们将使用最大似然估计，这与在线性回归  \n",
    "（ `subsec_normal_distribution_and_squared_loss`）  \n",
    "中的方法相同。  \n",
    "\n",
    "### 对数似然\n",
    "\n",
    "softmax函数给出了一个向量$\\hat{\\mathbf{y}}$，  \n",
    "我们可以将其视为“对给定任意输入$\\mathbf{x}$的每个类的条件概率”。  \n",
    "例如，$\\hat{y}_1$=$P(y=\\text{猫} \\mid \\mathbf{x})$。  \n",
    "假设整个数据集$\\{\\mathbf{X}, \\mathbf{Y}\\}$具有$n$个样本，  \n",
    "其中索引$i$的样本由特征向量$\\mathbf{x}^{(i)}$和独热标签向量$\\mathbf{y}^{(i)}$组成。  \n",
    "我们可以将估计值与实际值进行比较：  \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "P(\\mathbf{Y} \\mid \\mathbf{X}) = \\prod_{i=1}^n P(\\mathbf{y}^{(i)} \\mid \\mathbf{x}^{(i)}).\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "根据最大似然估计，我们最大化$P(\\mathbf{Y} \\mid \\mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：  \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "-\\log P(\\mathbf{Y} \\mid \\mathbf{X}) = \\sum_{i=1}^n -\\log P(\\mathbf{y}^{(i)} \\mid \\mathbf{x}^{(i)})\n",
    "= \\sum_{i=1}^n l(\\mathbf{y}^{(i)}, \\hat{\\mathbf{y}}^{(i)}),\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "其中，对于任何标签$\\mathbf{y}$和模型预测$\\hat{\\mathbf{y}}$，损失函数为：  \n",
    "\n",
    "$$ l(\\mathbf{y}, \\hat{\\mathbf{y}}) = - \\sum_{j=1}^q y_j \\log \\hat{y}_j. $$  \n",
    "`eq_l_cross_entropy`\n",
    "\n",
    "在本节稍后的内容会讲到，`eq_l_cross_entropy`中的损失函数  \n",
    "通常被称为*交叉熵损失*（cross-entropy loss）。    \n",
    "由于$\\mathbf{y}$是一个长度为$q$的独热编码向量，    \n",
    "所以除了一个项以外的所有项$j$都消失了。  \n",
    "由于所有$\\hat{y}_j$都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于$0$。  \n",
    "因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签$P(\\mathbf{y} \\mid \\mathbf{x})=1$，  \n",
    "则损失函数不能进一步最小化。  \n",
    "注意，这往往是不可能的。  \n",
    "例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），  \n",
    "或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。  \n",
    "\n",
    "### softmax及其导数\n",
    "`subsec_softmax_and_derivatives`  \n",
    "\n",
    "由于softmax和相关的损失函数很常见，  \n",
    "因此我们需要更好地理解它的计算方式。  \n",
    "将 :eqref:`eq_softmax_y_and_o`代入损失 :eqref:`eq_l_cross_entropy`中。  \n",
    "利用softmax的定义，我们得到：  \n",
    "  \n",
    "$$\n",
    "\\begin{aligned}\n",
    "l(\\mathbf{y}, \\hat{\\mathbf{y}}) &=  - \\sum_{j=1}^q y_j \\log \\frac{\\exp(o_j)}{\\sum_{k=1}^q \\exp(o_k)} \\\\\n",
    "&= \\sum_{j=1}^q y_j \\log \\sum_{k=1}^q \\exp(o_k) - \\sum_{j=1}^q y_j o_j\\\\\n",
    "&= \\log \\sum_{k=1}^q \\exp(o_k) - \\sum_{j=1}^q y_j o_j.\n",
    "\\end{aligned}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "考虑相对于任何未规范化的预测$o_j$的导数，我们得到：  \n",
    "  \n",
    "$$\n",
    "\\partial_{o_j} l(\\mathbf{y}, \\hat{\\mathbf{y}}) = \\frac{\\exp(o_j)}{\\sum_{k=1}^q \\exp(o_k)} - y_j = \\mathrm{softmax}(\\mathbf{o})_j - y_j.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。  \n",
    "从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，  \n",
    "其中梯度是观测值$y$和估计值$\\hat{y}$之间的差异。  \n",
    "这不是巧合，在任何指数族分布模型中对数似然的梯度正是由此得出的，这使梯度计算在实践中变得容易很多。  \n",
    "\n",
    "### 交叉熵损失\n",
    "\n",
    "现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。  \n",
    "对于标签$\\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。  \n",
    "唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如$(0.1, 0.2, 0.7)$，  \n",
    "而不是仅包含二元项的向量$(0, 0, 1)$。  \n",
    "我们使用 :eqref:`eq_l_cross_entropy`来定义损失$l$，  \n",
    "它是所有标签分布的预期损失值。  \n",
    "此损失称为*交叉熵损失*（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。  \n",
    "本节我们将通过介绍信息论基础来理解交叉熵损失。  \n",
    "\n",
    "## 信息论基础  \n",
    "`subsec_info_theory_basics`  \n",
    "\n",
    "*信息论*（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。  \n",
    "\n",
    "### 熵\n",
    "\n",
    "信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。  \n",
    "在信息论中，该数值被称为分布$P$的*熵*（entropy）。可以通过以下方程得到：  \n",
    "\n",
    "$$H[P] = \\sum_j - P(j) \\log P(j).$$  \n",
    "`eq_softmax_reg_entropy`    \n",
    "\n",
    "信息论的基本定理之一指出，为了对从分布$p$中随机抽取的数据进行编码，  \n",
    "我们至少需要$H[P]$“纳特（nat）”对其进行编码。  \n",
    "“纳特”相当于*比特*（bit），但是对数底为$e$而不是2。因此，一个纳特是$\\frac{1}{\\log(2)} \\approx 1.44$比特。  \n",
    "\n",
    "### 信息量\n",
    "\n",
    "压缩与预测有什么关系呢？  \n",
    "想象一下，我们有一个要压缩的数据流。  \n",
    "如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。  \n",
    "为什么呢？  \n",
    "举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。  \n",
    "由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。  \n",
    "所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。  \n",
    "\n",
    "但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到\"惊异\"。  \n",
    "克劳德·香农决定用信息量$\\log \\frac{1}{P(j)} = -\\log P(j)$来量化这种惊异程度。  \n",
    "在观察一个事件$j$时，并赋予它（主观）概率$P(j)$。  \n",
    "当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。  \n",
    "在 :eqref:`eq_softmax_reg_entropy`中定义的熵，  \n",
    "是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的*信息量的期望*。  \n",
    "\n",
    "### 重新审视交叉熵\n",
    "\n",
    "如果把熵$H(P)$想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？  \n",
    "交叉熵*从*$P$*到*$Q$，记为$H(P, Q)$。  \n",
    "我们可以把交叉熵想象为“主观概率为$Q$的观察者在看到根据概率$P$生成的数据时的预期惊异”。  \n",
    "当$P=Q$时，交叉熵达到最低。   \n",
    "在这种情况下，从$P$到$Q$的交叉熵是$H(P, P)= H(P)$。  \n",
    "\n",
    " 简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：  \n",
    "（i）最大化观测数据的似然；（ii）最小化传达标签所需的惊异。  \n",
    "\n",
    "## 模型预测和评估\n",
    "\n",
    "在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。  \n",
    "通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。  \n",
    "如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。  \n",
    "在接下来的实验中，我们将使用*精度*（accuracy）来评估模型的性能。  \n",
    "精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。  \n",
    "\n",
    "## 小结\n",
    "\n",
    "* softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。  \n",
    "* softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。\n",
    "* 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。"
   ]
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